Главная » Файлы » Для учня/студента » Математика | [ Добавить материал ] |
[ · Скачать удаленно () ] | 03.08.2009, 20:53 |
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ УЖГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІЕП ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ФІЗИКО – МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН КУРСОВА РОБОТА Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Студента 2-го курсу Науковий керівник УЖГОРОД – 1998 р. Вступ. 3 Вступ. Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.
Формули прямокутників і трапеції. Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу , де є деяка заданая на проміжку неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. , де . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.
Мал. 1 На практиці зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді . (1) Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу. . Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули . (2) Це так звана формула трапецій. Параболічне інтерполювання. Для наближеного обчислення інтеграла можно спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом (3) і покласти
Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана крива замінюється на параболу - го порядку (3), в звязку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання. (4) Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті. (5) і, як легко обчислити,
Таким чином, тут ми наближено вважаємо
На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці. (7) За допомогою легкого обчислення вираховуємо
і, аналогічно , Таким чином, приходимо до наближеної формули . Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої. Дроблення проміжку. При обчисленні інтегралу можно зроботи так. Розібємо спочатку проміжок на деяке число, , рівних проміжків , в звязку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми (9) Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8). , , . Ми отримаємо , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули (10) Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат. Залишковий член формули прямокутників. Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в , де міститься між та і залежить від . (11) Таким чином, отримаємо , так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд . Позначив через і , відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати , де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно . (12) Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точную формулу Додавнши ці равенства (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях , де вираз
і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз
також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції . (13). При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як . Залишковий член формули трапеції. Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати . Інтегруя цю формули від до , знайдемо , так що залишковий член формули (6) буде . Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо . Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин (14). Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменьшуеться приблизно як . Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників. Залишковий член формули Сімпсона. Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти (15). Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше. , яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам , і двукратному вузлу . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо: . Тепер проінтегрувавши цю равність від до ; ми знайдемо, що
так як . Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8) , користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді :
. Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді (16). При зростанні цей вираз зменьшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули. Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC: 'Тут описуються сталі 'Тут задається від під інтегральної функції DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2 CLS 'Тут вводяться межі інтегрування та 'Тут обчислюється крок 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#)) Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1. 1) в межах від 0 до 2) в межах від 0 до 3) в межах від 0 до 1 n=1 n=10 n=100 n=1000 n=10000 М-д правих прсмокутників 2,25 ,4425000000000001 ,3434249999999 ,33433425 4) в межах від 0 до 1 5) в межах від 0 до У данній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона. 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968. | |
Просмотров: 738 | Загрузок: 124 | |