Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х'=х-а, у'=у-в,
де О' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х';у'] - її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х= х'cos- у'sin; y= x'sin+ y'cоs,
де (х,у) - старі координати точки, [х',у'] - її нові координати,  - кут повороту.
3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):
d=
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному відношенні :
x= y= .
При =1, маємо координати середини відрізка:
х= у= .
5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):
S= .
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к=tg (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.
7. tg= - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.
Умова паралельності прямих: к/=к.

1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).
II. Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
1. Основні теореми про границі:
а)
б)
Зокрема,
в)
2. Чудові границі:
а) б)
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…
4. Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту аргументу х:

5. Умова неперервності функції у=f(x):

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:
, (1)
де (хі, уі) є Si (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок Si.
Якщо f(x, y)0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y).
2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями axb, y1(x)yy2(x),
де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:
.
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах  і r,
де x=r cos, y=rsin має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:, r1()rr2(), то

4. Якщо =(х, у) – поверхнева густина пластини S, то її
маса є (2)

25
(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при =1 отримуємо формулу площі пластинки
5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:
,
де =(х, у) – поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S визначаються за
формулами: , , (3)
де m – маса пластинки.
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо =1.
7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:
, ,
де =(х, у) – поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:
, (4)
де (xi, yi, zi) є Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок Vi .
Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює обєм V.
9. Обєм тіла V дорівнює: .
10. Якщо область інтегрування V визначається
26
Фокуси гіперболи F(c;0) і F/(-c;0), де с2=а2+в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):
r=(Ex-a), r/=(Ex+a),
де Е= - ексцентриситет гіперболи.
18. Асимптоти гіперболи (2):
у= .
19. Графік оберненої пропорційності
ху=с (с0)
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:
у2=2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).
21. Графік квадратного тричлена
у=Ах2+Вх+С
- вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:
 tg=
Прямокутні координати точки з полярними координатами
 і .
x= cos, y= sin.
23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)
3
f/(x0)=0 або f/(x0) не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0:
1) f/(x0)=0, f/(x0-h1)f/(x0+h2)<0 при довільних досить малих h1>0 і h2>0, або
2) f/(x0)=0, f/(x0)0
12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f/(x)<0.
- Необхідна умова точки перегинy графіка функції
y=f(x) при x=x0: f/(x0)=0 або f/(x0)не існує.
- Достатня умова точки перегину при х=х0:
f (x0)=0, f/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0.
13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [,] і f()f()<0, то корінь  рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:
а) (метод хорд)
б) , де f ()0; f()-f()>0 (метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х: dx=∆x. Диференціал функції у=f(x):dy=ydx. Зв’язок приросту ∆y функції з диференціалом dy функції:
∆y=dy+∆x, де →0 при ∆х→0.
Таблиця диференціалів функцій.
1) dun=nun-1du; 7) d(ctg u)=-
2) dau=auln a du (a>0); deu=eudu; 8) d(arcsin u)=
3)d(logau)= ; 9) d(arccos u)=-
6
№ п/п Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння Вигляд загального розвязку
1 Корені k1 i k2 дійсні і різні

2 Корені рівні k1 = k2

3 Корені комплексні k1=+і k2=-і
9. Таблиця 2.
Характер частинного розвязку z-неоднорідного рівняння у+ру+qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).
№ п/п Права частина f(x) Випадки Частинний розвязок

1
f(x)=aemx (a,m - сталі) 1) m2+pm+q0,
2) m2+pm+q=0:
a) p2-4q>0,
b) p2-4q<0. z=Aemx,
---------
z=Axemx,
z=Ax2emx.
2 f(x)=Mcosx+Nsinx (M,N, - сталі, 0) 1) p2+(q-2)20,
2) p=0, q=2. z=Acosx+Bsinx,
z=x(Acosx+Bsinx)
3 f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c – сталі) 1) q0,
2) q=0, p0. z=Ax2+Bx+C,
z=x(Ax2+Bx+C).
A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К: x=x(t), y=y(t) (t є [, ]), дорівнює
(1)
Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (axb), то

23

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К.
Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К.
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К: x=x(t), y=y(t) (t є [, ]), визначається за формулою:
(2)
Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [, ]), то
.
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К.
3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і
, (3)
де (х1,у1) – початкова точка шляху і (х2, у2) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y).

24
графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.
Правила і формули диференціювання:
а) C=0; б) (U+V-W)=U+V-W;
в) (CU)=CU; г) (UV)=UV+VU;
д) е)
є) ; и) (хn)=n xn-1, x=1;
і) (sin x)=cos x; ї) (cos x)=-sin x;
й) (tg x)=sec2x; к) (сtg х)=-cosec2x;
л) м) (аx)=ax ln a, (ex)=ex.
н) (аrcsin x)= o) (arccos x)= ;
п) (arctg x)= р) (arcctg x)=
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f/(), де  є (х1,х2).
8. Функія у=f(x) зростає, якщо f/(x)>0, і спадає, якщо f(x)<0.
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :
якщо границя з права існує.
10. Локальна формула Тейлора:
f(x)=f(x0)+f/(x0)(x-x0)+…+
де f(n)(x) існує в деякому повному околі точки х0.
11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0:
5
6) .
7)
8)
9) .
10) .
11) .
12) де 0.
13)
14)
3. Основні методи інтегрування.
а) метод розкладу:
, де f(x)=f1(x)+f2(x)
б) метод підстановки: якщо x=(t), то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F(x)=f(x), то
.
5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:
8
де , (n=1, 2,…).

IX.Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0
має загальний інтеграл: (1)
Особливі розвязки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,
де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розвязуються за допомогою підстановки y=ux (u – нова функція).
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:
a(x)y+b(x)y+c(x)=0
можна розвязати за допомогою підстановки y=uv,
де u – не нульовий розвязок однорідного рівняння
a(x)y+b(x)y=0, а v – нова функція.
4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо y=f(x), то загальний розвязок:
;
б) якщо y=f(у), то загальний інтеграл:
;
в) якщо y=f(у), то загальний інтеграл рівняння можна
21
знайти з співвідношення: , де у=р.
5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо у=f(x, y), то приймаючи у=р(х), отримуємо:
;
б) якщо у=f(у, y), то приймаючи у=р(у), отримуємо:
.
6. Загальний розвязок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у+р(х)у+q(x)y=0 має вигляд
у=С1у1+С2у2,
де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розвязки.
7. Загальний розвязок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у+р(х)у+q(x)y=f(x) має вигляд ,
де - загальний розвязок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розвязок даного неоднорідного рівняння.
8. Таблиця 1.
Загальний вигляд розвязків однорідного рівняння у+ру+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0.

22
(a>0,a1); d(ln u)=
4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)= ;
5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=
6) d(tg u)= 12) df(u)=f(u)du.
15.Малий приріст диференційованої функції:
f(x+∆x)-f(x)f(x)∆x
16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d2x)=0:
d2y=у''dx2.

III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
а)
б) в) (А0)
г)
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.
1) (m-1).
2) , (при х<0 i при x>0).
3) ;
4) (a>0, a1).
5) .

7
де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).
11. Формула Сімпсона:
де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл:
13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x)0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a 14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією =f() ( i  - полярні координати) і двома промінями =, = (<): .
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a .
16. Довжина дуги гладкої кривої =f() в полярних координатах  і  від точки = до точки = (<):
,
17. Довжина дуги гладкої кривої х=(t) y=(t), задано параметрично (t0 18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):

10
9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:
а) , при x < 1;
б) ln(1+x) = , при –1 в) , при x  1;
г) , при x < +;
д) ,
при x < +;
е) , при x < +;
ж) ,
при x < 1.
11. Ряд Тейлора.

12. Ряди в комплексній області: .
13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

19
також збігається (абсолютно).
14. Формули Ейлера: , .
15. Тригонометричний ряд Фурє кусково-гладкої функції f(x) періоду 2l має вигляд:
, (1)
де , (n=0, 1, 2,…);
, (n=1, 2,…).
(коефіцієнти Фурє функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2 маємо ,
де , (n=0, 1, 2,…).
В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то
,
де , (n=0,1, 2,…).
Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то
,

20

де і
6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):
а) ; б)
в) г)
д)
е)
ж)
7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то
, де а 8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
де а=(), b=().
10. Формула трапецій: ,
9
z=r(cos+isin), де r=z; =Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент:
а) z1+z2  z1 + z2; б) z1z2  z1 z2,
Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;
в) Arg =Arg z1-Arg z2; (z20);
г) zn = z n; Arg zn=n Arg z (n - ціле).
6. Корінь з комплексного числа:
, (k=0,1,2,…,n-1)
7. Показникова формула комплексного числа:
z = r ei, де z = z,  = Arg z.
8. Визначник другого порядку:
.
9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=х/; у=у/ (правило Крамера), де
.
10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=1t, y=-2t, z=3t; (- де -
мінори матриці .
12

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:
де dx=x, dy=y.
Якщо U = f(x, y, z), то .
4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos , cos } дорівнює:
.
Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і {cos , cos , cos } – одиничний вектор напряму l, то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:
fх(x, y, z)=0; fy(x, y, z)=0; fz(x, y, z)=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор

Звідси .
8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то
17
((x, y) є G).
(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.
1.Основне означення: .
2. Необхідна ознака збіжності ряду:
якщо ряд збігається, то .
3. Геометрична прогресія: , якщо q < 1.
4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).
5. Ознака Даламбера. Нехай для ряду (Un>0) існує

Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;
б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.
6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… - збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1х+а2х2+… визначається за формулою: , якщо остання має зміст.
18
.
19. Об’єм тіла обертання:
а) навколо осі Ох: (a б) навколо осі Оу: (c 20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b]:

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.
1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і2=-1.
Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел:
z1=z2Re z1=Re z2, Im z1=Im z2
2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:
3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2:
a)
б)
в) (z20)
Зокрема Re z =1/2 (z+ ), Im z= (z- )/2і,  z 2=z .
4. Тригонометрична форма комплексного числа:
11

V. Елементи векторної алгебри.
1. Сумою векторів , , є вектор .
2. Різницею векторів і є вектор , де
- - вектор, протилежний вектору .
3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.
4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).
Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l-скаляри)
5. Скалярним добутком векторів і є число
, де =<( , ).
Вектори і ортогональні, якщо * = 0.
Якщо і , то .
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
де , , ( = <(a,b)),
причому а, b, с - права трійк.
Якщо і , то , де
i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.
Якщо , , , то

14
.

VI. Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є:
x=rx , y=ry , z=rz , де r= - радіус-вектор точки М.
2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az} визначаються формулами: ;
cos =ax/a; cos =ay/a; cos =az/a,
(cos2+cos2+cos2=1),
де cos , cos , cos  - напрямні косинуси вектора а.
3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):
.
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N(r-r0)=0,…(1)
де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0.
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2)
де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0+st (3)
15
де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (- В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
.
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=NN, де N={A,B,C}, N={A,B,C}.
8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):
.
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:
.
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:
x2+y2=2pz.

VII. Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y):
,
або
Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z).
2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:

16
11. Визначник третього порядку:

де - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=х/; у=у/; z=z/,
де
.
13. Розв’язок однорідної системи , якщо

знаходяться з підсистеми: .

13