Главная » Файлы » Для учня/студента » Математика | [ Добавить материал ] |
[ · Скачать удаленно () ] | 03.08.2009, 20:36 |
Вступ. Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона. Формули прямокутників і трапеції. Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу , де є деяка задана на проміжку неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первісної, якщо вона виражається в скінченому вигляді, або ж – минуючи первісну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас інтегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. , де . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступінчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.
Мал. 1 На практиці зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді . (1) Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу. . Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули . (2) Це так звана формула трапецій. Параболічне інтерполювання. Для наближеного обчислення інтеграла можно спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом (3) і покласти
Можна сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана крива замінюється на параболу - го порядку (3), в зв’язку з чим цей процес отримав назву параболічного інтерполювання. (4) Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площею прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті. (5) і, як легко обчислити,
Таким чином, тут ми наближено вважаємо
На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка сполучає її кінці. (7) За допомогою легкого обчислення вираховуємо
і, аналогічно , Таким чином, приходимо до наближеної формули . Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої. Дроблення проміжку. При обчисленні інтегралу можна зробити так. Розіб’ємо спочатку проміжок на деяке число, , рівних проміжків , в зв’язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми (9) Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8). , , . Ми отримаємо , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Зрештою, додаючи почленно ці рівності, прийдемо до формули (10) Вона носить назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближеного обчислення інтегралів частіш, аніж формулами прямокутників і трапецій, бо вона – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат. Залишковий член формули прямокутників. Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тоді, розкладаючи (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в , де міститься між та і залежить від . (11) Таким чином, отримаємо , так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд . Позначивши через і , відповідно найменше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і користуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу не змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати , де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно . (12) Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точную формулу Додавши ці рівенства (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях , де вираз
і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз
також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції . (13). При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як . Залишковий член формули трапеції. Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогадках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати . Інтегруючи цю формули від до , знайдемо , так що залишковий член формули (6) буде . Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо . Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин (14). Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменшується приблизно як . Ми бачимо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників. Залишковий член формули Сімпсона. Звернемося, нарешті до формули (8). Можна було б, аналогічно тому, як це було зроблено тільки що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти (15). Але ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше. , яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Ерміта, який відповідає простим вузлам , і двократному вузлу . Скориставшись формулою Ерміта з залишковим членом – в припущенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо: . Тепер проінтегрувавши цю рівність від до ; ми знайдемо, що
так як . Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8) , користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можна підставити в такому вигляді:
. Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді (16). При зростанні цей вираз зменшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули. Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC: 'Тут описуються сталі 'Тут задається від під інтегральної функції DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2 CLS 'Тут вводяться межі інтегрування та 'Тут обчислюється крок 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення 'Тут обчислюється наближене значення integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#)) Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1. 1) в межах від 0 до 2) в межах від 0 до 3) в межах від 0 до 1 n=1 n=10 n=100 n=1000 n=10000 М-д правих прсмокутників 2,25 ,4425000000000001 ,3434249999999 ,33433425 4) в межах від 0 до 1 5) в межах від 0 до У даній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведені формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона. 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968. | |
Просмотров: 498 | Загрузок: 118 | |