| Главная » Файлы » Для учня/студента » Математика | [ Добавить материал ] |
Реферат на тему: Архімед – математик і винахідник античних часів
| [ Скачать с сервера (151.5 Kb) ] | 09.07.2009, 23:45 |
| Народився Архімед близько 287 року до н. е. в Сіракузах на острові Сіцілія. Здобувши освіту у свого батька — астронома і математика Фідія, Архімед переїхав до Алек¬сандрії удосконалювати свої знання з математики й астрономії; Тут він зблизився з учнями Евкліда — ма¬тематиком Ератосфеном, астроно¬мом Кононом і Досіфеєм. Повернув¬шись до Сіракуз, Архімед підтримував зв'язки з цими вченими. Частина його праць дійшла до нас у вигляді листів до видатних матема¬тиків. Наукова діяльність Архімеда бу¬ла пов'язана з життєвими потреба¬ми його батьківщини. Учений про¬водив дослідження у галузі матема¬тики, фізики, механіки, астрономії. За переказами, він так захоплював¬ся наукою, що забував навіть про їжу. Архімед був також видат¬ним інженером-винахідником і брав безпосередню участь у підготовці оборонних споруд. Під час другої Пунічної війни він керував оборо¬ною рідного міста. Війна велася між римлянами і карфагенянами (пунами), грецькі Сіракузи висту¬пали на боці карфагенян. Коли рим¬ське військо почало наступ з моря і суші, Архімед привів у дію сконструйовані ним метальні машини. На сухопутне військо з величезною силою і швидкістю посипалося ка-міння. Цілі підрозділи ворогів па¬дали на землю, руйнуючи свої бо-йові порядки. Водночас у море по¬летіли з кріпосних стін важкі балки, зігнуті у вигляді рогів. Від їх силь¬них ударів кораблі йшли на дно. Великі гаки, ніби залізними руками піднімали кораблі високо в повітря і кидали їх кормою в море або на скелі біля стін міста. Римське вій¬сько було дуже налякане". Побачив¬ши над стіною міста якусь палицю або канат, воїни кричали: «Ось, ось воно!» і з жахом розбігалися. Грецький геометр і філософ Прокл, який жив у V ст. н. е., писав, що Архімед, крім описаних бойових машин, сконструював ще й таку, яка за допомогою системи дзеркал знищувала ворожі кораблі на морі. Усе це змусило римлян відмови¬тися від спроби захопити місто штурмом і перейти до блокади. Восени 212 p., коли римляни на¬решті оволоділи Сіракузами, Архі¬мед трагічно загинув. Давньогрець¬кий письменник Плутарх розповідає, що Архімед сидів, розмірковуючи над якоюсь геометричною фігу¬рою, коли перед ним з'явився рим¬ський солдат і зажадав, щоб він пі¬шов з ним до Марцелла (воєначальника). Але вчений відповів, що піде до Марцелла лише тоді, коли розв'яже задачу. Солдат обурився, вихопив меч і вбив Архімеда. Є й інші версії смерті видатного мате¬матика і механіка. До нас дійшли дев'ять праць Ар¬хімеда, а саме: «Про кулю і ци-ліндр», «Про вимірювання круга», «Про коноїди і сфероїди», «Про спі¬ралі», «Про рівновагу площин», «Про число піщинок», «Про квадра¬туру параболи», «Про плаваючі ті¬ла» і «Леми». Частина праць Архімеда загину¬ла. З висловлювань деяких авторів і самого Архімеда можна зробити висновок, що загинули такі твори: «Про основи лічби», «Про много¬гранники», «Про терези», «Про ва¬желі». Не збереглися твори Архіме¬да з оптики й астрономії, а також його міркування про календар. Мабуть, найпершим твором Архі¬меда був твір «Начала», в якому він виклав свої міркування про об¬числення і лічбу. Збереглися лише окремі уривки з цього твору. Грець¬ка система числення була важкою, недосконалою й незручною, бо ста¬родавні греки позначали числа бук¬вами алфавіту. Щоб відрізнити їх від букв тексту, вони користувались ще різними значками, рисками то¬що. Архімед намагався вдосконали¬ти ці обчислення і привести їх до певної системи. Відповідні мірку¬вання він виклав у другому своєму творі «Псамміт» («Про число піщи¬нок»). Він робить тут спробу обчис¬лити, скільки піщинок містилося б у «всесвіті», тобто у сфері, центром якої була б Земля і яка охоплюва¬ла б усі нерухомі зорі. Розв'язуючи цю задачу, Архімед створив систему числення, яка давала можливість зобразити числа довільної величи¬ни. Буквами грецького алфавіту греки могли записати всі числа від 1 до 999; якщо застосувати допо¬міжні знаки (коми, букву для по¬значення десятків тисяч і т. д.), то можна було зобразити всі числа від 1 до 108—1. Архімед брав число 108 за одиницю нового розряду і так лічив знову до 108 — 1 і т. д. Число 108 дістало назву октади Архімеда. За допомогою таких октад Архімедові вдалося встановити число пі¬щинок у кулі, радіус якої дорівнює відстані від Землі до сфери «неру¬хомих» зірок. Це число буде менше, ніж 1063. Розроблена Архімедом система числення не була позицій¬ною, бо не мала нуля. Принципово нові ідеї і методи Архімед виклав у праці «Вимірю¬вання круга». Учені намагалися і до Архімеда встановити величину відношення довжини кола до діа¬метра. Архімед у своїх дослідженнях ви¬ходить з того, що довжина кола міститься між довжинами периметрів правильних вписаних і описаних многокутників з однаковою кількі¬стю сторін і, якщо число сторін цих многокутників необмежено подвою¬вати, то їх периметри наближати¬муться до своєї границі — довжини кола. Архімед почав робити обчис¬лення з правильних шестикутників і довів його до правильного 96-кут-ника. Він довів, що коли діаметр кола взяти за одиницю, то величина периметра правильного вписаного 96-кутника буде більшою від а величина периметра правильного описаного 96-кутника буде меншою за . Архімед узяв верхню грани¬цю за наближене значення довжини кола (коли D = 1), тобто знайшов, що 3,14 з точністю до 0,01. Це значення числа , тобто назива¬ють Архімедовим. У цій праці Архімед застосу¬вав знайдений ще Евдоксом метод, який дістав назву методу вичерпу¬вання. Площу круга Архімед знаходить за таким самим методом: він вписує в круг і описує навколо нього пра¬вильні многокутники, поступово по¬двоюючи число їх сторін. Площа вписаного многокутника із збіль¬шенням числа його сторін збільшується, наближаючись до площі кру¬га, яка нібито поступово «вичерпу-ється» (звідки й назва «метод вичерпування»). Площа описаного многокутника, навпаки, зменшуєть¬ся. В обох випадках площі много-кутників будуть наближатись до площі круга. Доведення за допомо-гою методу вичерпування базується на тому, що різниця площ многокут¬ників може стати меншою від як завгодно малої наперед заданої ве¬личини. Визначення площі круга Архімед починає з доведення теореми, відо¬мої ще до Евкліда: площа круга до¬рівнює площі прямокутного трикут¬ника, в якого більший катет дорів¬нює довжині кола, а менший — ра¬діусу круга. Це доведення, яке про¬водиться методом від супротивного, зводиться до доведення тверджень, що площа круга не може бути ні більшою, ні меншою за площу такого трикутника. Архімед успішно застосовує метод вичерпування і для знаходження площі параболічного сегмента, тобто площі, обмеженої дугою параболи і хордою. Ці дослідження Архімеда були першим кроком на шляху до аналі¬зу нескінченно малих величин. У праці «Про циліндр і кулю» Архімед також застосовує метод вичерпування для визначення повер¬хонь і об'ємів круглих тіл — цилінд¬ра, конуса і кулі. Про свої відкриття Архімед пи¬сав математикові Досіфею: «Я до¬вів, що поверхня всякої кулі в чоти¬ри рази більша від площі її вели¬кого круга, що об'єм циліндра, основа якого дорівнює площі великого круга кулі, а висота — діаметру кулі, в півтора раза більший від об'єму цієї кулі, а його поверхня (включаючи і площі основ) у півто¬ра раза більша від поверхні кулі; піраміда дорівнює третині призми, якщо вони мають рівні основи і ви¬соти, а конус — третині циліндра (про конус знав і Евдокс), Зрозу¬міло, що ці властивості тіла мали завжди, але видатні геометри, які жили до Евдокса, не знали цих властивостей і ніхто з них не відкрив їх». Ці відкриття Архімед вважав дуже важливими і висловлював ба¬жання, щоб на його могилі встано¬вили пам'ятник, на якому був би зображений циліндр з вписаною в нього кулею. У 1906 р. датський філолог і ма¬тематик Гейберг, вивчаючи старо¬грецькі рукописи у бібліотеках Стамбула (Туреччина), натрапив на збиток, у якому були три не відомі до того твори Архімеда: дві праці «Про плаваючі тіла» і одна праця, в якій Архімед висловлює думки про механічні методи дослі¬джень, так званий «Ефодік». У тво¬рі «Ефодік» вміщено лист Архімеда до відомого математика Ератосфе-на. В ньому Архімед пише: «Оскіль-ки, звичайно, я в твоїй особі... ціную дуже серйозного вченого і видатно¬го філософа, то я вважаю за до¬цільне висвітлити в цій книзі своє¬рідний метод і так пояснити його, щоб ця праця послужила і для тебе стимулом у дослідженнях деяких математичних питань за допомогою механіки». Справді, Архімед спочат¬ку застосовував метод зважування на рівноплечому важелі, а потім проводив геометричне доведення ме¬тодом вичерпування. Особливо важливий твір Архімеда «Про плаваючі тіла». У ньому викладено закони гідростатики, які не втратили свого значення й до на¬ших днів. Існує цікава легенда про історію відкриття «закону Архімеда». Сіракузький цар Гієрон нака¬зав майстрові виготовити корону з чистого золота. Коли корона була готова, цар доручив Архімедові пе¬ревірити, чи справді це чисте золо¬то. Архімед довго міркував над тим, як це зробити, але нічого не міг при¬думати, адже корона мала непра¬вильну форму і тому не можна було обчислити її об'єм. Одного разу, ку¬паючись у ванні, Архімед звернув увагу на те, що його тіло у воді стає легшим. Раптом йому спало на дум¬ку, як можна розв'язати поставлену проблему. Він так розхвилювався, що вискочив з ванни і побіг вули¬цею, вигукуючи: «Еврика, еврика!» («Знайшов, знайшов!»). І справді, зваживши у воді спочатку кусок чис¬того золота, кусок срібла, потім — корону, Архімед установив, що ко¬рона була не з чистого золота. У книжці «Про рівновагу і ви¬значення центра ваги плоских фі-гур» Архімед уперше доводить відо¬ме правило важеля: нерівні тягарі перебувають у рівновазі на важелі, якщо відстані центрів тягарів від. точки опори важеля обернено про¬порційні їх вагам. У цій самій праці" Архімед визначає центри ваги пря¬мокутників, паралелограмів, трикут¬ників і т. д. Є всі підстави припускати, що тут він установив саме по¬няття центра ваги тіла: це така точка, в якій досить підтримати тіло, щоб воно було в рівновазі у будь-якому положенні. Цікаві властивості встановив Архімед, досліджуючи спіральні лінії, які були відкриті його другом Кононом. Криві цього виду мають назву архімедових спіралей, бо саме Архімед відкрив і довів найголовніші властивості їх. Архімед довів зокре¬ма, що площа першого витка спіра¬лі становить третю частину площі описаного навколо нього круга (ди¬вись малюнок), площа другого вит¬ка дорівнює 19/27 площі описаного круга і т. д. Архімедова спіраль утворюється рівномірним рухом точки по прямій з одночасним рівномірним обертан¬ням цієї прямої навколо однієї із своїх точок. Архімедову спіраль використовують у техніці як профіль кулачка в кулачкових механізмах, у самоцентруючих патронах металооброб¬них верстатів тощо. Слід згадати ще про винайдений Архімедом гідравлічний гвинт. Це відкрита з обох боків циліндрична труба, по осі якої обертається вал з гвинтовою поверхнею. Гідравліч¬ний гвинт застосовують для підні¬мання рідин, сипких тіл тощо. Ре-конструйовані і вдосконалені гвин¬ти Архімеда і нині рухають морські кораблі, гвинтові літаки та верто¬льоти, гідротурбіни тощо. Є певні відомості, що Архімед розробляв питання оптики (залом¬лення світла) і астрономії. Виготов¬лена Архімедом модель небесної сфери створювала правдиву карти¬ну руху небесних світил. Ціцерон (давньоримський політичний діяч і оратор І ст. до н. е.) свідчить, що він бачив цю дивну модель на влас¬ні очі. На закінчення слід підкреслити, що творчість Архімеда становить ці¬лу епоху в розвитку математики взагалі. Архімед, створивши метод вичерпування, вніс величезний вклад у ту галузь математики, що зараз займається аналізом нескінченно малих величин. Він створив першо¬основу для успішного розвитку но¬вої математики в блискучих працях Ньютона, Лейбніца та інших мате-матиків XVII ст. у галузі інтеграль¬ного та диференціального числень. | |
| Просмотров: 1377 | Загрузок: 193 | | |