ПЛАН
1. Обернені тригонометричні функції
2. Тригонометричні рівняння
3. Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульо¬вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.
У IX класі було введено означення числової функції як відоб¬раження підмножини D множини R на деяку підмножину Е мно¬жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто¬рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо¬вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо¬вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.
Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно¬го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.
Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sin x. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2 свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ¬ція у = sin x має безліч проміжків зро¬стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].
Отже, функція у = sin х, якщо x , оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не¬перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.
Графік функції у = arcsin x учні також можуть побу¬дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра¬фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsin стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то про¬міжку , причому arcsin 0 = 0, arcsin 1 = , arcsin (-1) = - .
Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:
,

Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо

Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса
sin (arcsin (-х)) = -х,
sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.
Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,
arcsin (-х) = -arcsin x.
Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsin x відносно початку координат.
Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближе¬них обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:
0,9063 sin 65°00';
65° 00' 1,1345 рад;
arcsin 0,9063 1,1345,
оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за табли¬цями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.
Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:
0,68 sin 420
420 0,73;
arcsin 0,683 0,73
Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберне¬ної функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову
arccos (-х) = - arccos х.
Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.
Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.
1) Чи існує arccos 1,5?
2 ) Чи правильні рівності: arcsin х = , arccos х = - ; arccos х = ?
3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).
4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?
5) Обчисліть sin ; .
Детальніше розглянути властивості обернених тригонометрич¬них функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:
arccos (-х) = - arccos x,
arcctg (-х) = — arcctg x;
розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.
У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували називати:
1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригономет¬ричної функції (в такому разі рівняння виду sin х+х=0 не на¬лежить до тригонометричних; його пропонували називати трансцен¬дентним) .
2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.
З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав, що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є принциповими. Важливо одне - немає загального методу розв'язування тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгеб¬раїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'яз¬ків, або мають їх безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.

Розв'язування тригонометричних нерівностей
Розв'язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про властивості тригонометричних функцій, набувають на¬вичок теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв'язування найпростіших нерівностей виду




Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, при¬родно розв'язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]), з'ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв'я¬зування нерівності з однією змінною.
Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей графічний спосіб по¬ряд з перевагами має деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки тригонометричних функцій. Тому корис¬но показати учням, як такі нерівності розв'язуються за допомогою одиничного кола.

Література.
Алгебра і початки аналізу 10-11 клас
Методика викладання алгебри та початків аналізу