Термін алгоритм існував задовго до появи комп’ютерів. Він походить від імені давнього філософа і математика з Хорезму (Узбекистан), що жив у 9 ст. Мухаммед аль-Хорезмі. Саме він у своїх трактатах описав правила (алгоритми) додавання, віднімання, множення і ділення багатозначних чисел, якими ми користуємося сьогодні.
Алгоритм – це правило (інструкція), що задає (описує) послідовність команд (дій, вказівок), які потрібно виконати над вхідними даними (об’єктами) для отримання результату.
Приклади:
Завдання: Обчислити
360
92 - 32
Алгоритм виконання:
Виконати віднімання 92 – 32 і запам’ятати результат 60.
Виконати ділення 360 : 60 і запам’ятати результат 6.

Завдання: Закип’ятити воду.
Алгоритм Кип’ятіння води
1. Налити в чайник води. 2. Запалити плитку.
3. Поставити чайник на плитку. 4. Чекати поки вода закиппть.
5. Зняти чайник з плитки. 6. Виключити плитку.

Вчинки людей підпорядковані досягненню конкретної мети. Обдумуючи план на день, ми складаємо алгоритми розв’язування побутових чи профе-сійних задач. Отже, людина є виконавцем алгоритмів.
Для полегшення фізичної та інтелектуальної праці люди створили різні технічні пристрої: машини, роботи, автомати, комп’ютери.
Кожен виконавець може виконати певну кількість команд, які називають-ся допустимими командами виконавця.
Розглянемо таких виконавців: людину, робота, комп’ютер.
1. Людина здатна виконати практично необмежену кількість різних ко-манд: іти, лічити, шити, їсти, спати і т.д. Тому на дії людей розумні обмеже-ння накладаються законами, мораллю й сумлінням.
2. Кількість команд для робота є значно меншою. Наприклад, уперед, направо і т.д. – це допустимі команди робота. Але робот не виконає таких команд: їсти, пити, спати.
3. Додавати, віднімати, множити, ділити, малювати, грати – це команди для комп’ютера, але він не може виконати команду, наприклад, переміще-ння у просторі, яка характерна для людини і робота.
Команди, які не може виконати виконавець, називаються недопустимими командами виконавця.

Є такі способи опису алгоритмів:
1) словесно-формульний (описували алгоритми при розгляді прикл. 1 і 2)
2) графічний у вигляді блок-схем;
3) алгоритмічною мовою або мовою програмування.
Будемо вчитися описувати алгоритм мовою програмування, а не алго-ритмічною мовою, тому що правильність алгоритму (програми) записаної на мові програмування можна перевірити лише за допомогою комп’ютера.
Наведемо приклад словесного способу опису алгоритмів. Алгоритмові дає-мо назву, команди нумеруємо. Назву пишемо з великої літери.
Приклад:
3) Завдання: Скласти алгоритм переходу вулиці.
Алгоритм Перехід
1. Подивитися наліво.
2. Якщо немає перешкоди, то йти до середини вулиці, інакше пропусти-ти машини і йти до середини вулиці.
3. Подивитися направо.
4. Якщо немає перешкоди, то завершити перехід, інакше пропустити ма-шини і завершити перехід.
Дайте відповіді на запитання:
1. Хто може бути виконавцем цього алгоритму?
2. Чи можна в алгоритмі поміняти будь-які дві команди місцями, чи буде новий алгоритм правильний?

Існують такі властивості алгоритмів:
- Визначеність алгоритму
Алгоритм визначений, якщо він складається з допустимих команд виконавця, які можна виконати для зазначених вхідних даних. Невизначеність, наприклад, виникне в алгоритмі прикладу 1, якщо в знаменнику буде записано 92-92 (ділення на 0 не допустиме).
- Скінченність алгоритму
Послідовність команд, які потрібно виконати, має бути скінченною.
Алгоритм прикладу 1 – скінченний. Він складається з трьох дій.
Нескінченний, наприклад, алгоритм обчислення ділення 5 : 3.
- Результативність алгоритму
Алгоритм результативний, якщо він дає результати. Наведені вище алгоритми є результативними.
- Правильність алгоритму
Алгоритм правильний, якщо його виконання забезпечує досягнення мети. Якщо в алгоритмі прикладу 3 поміняти місцями пункти 1 і 2 або 3 і 4, то отримаємо неправильний алгоритм.
- Формальність алгоритму
Якщо алгоритм можуть виконати не один, а декілька виконавців і одержати однакові результати.
- Масовість алгоритму
Алгоритм масовий, якщо він придатний для розв’язування не однієї задачі, а низки подібних задач. Алгоритм прикладу 1 немасовий, а прикладу 3 (перехід вулиці) – масовий.
Приклад масовості алгоритму:
Написати алгоритм розв’язування лінійного рівняння ах+в=с, де а, в та с – будь-які числа і а≠0.

З’ясували, що одним із способів опису алгоритмів є графічний, тобто за допомогою блок-схем. На такій схемі операції виконавця подаються блоками і з’єднані між собою стрілками. Є різні позначення блоків в залежності від конкретних дій.

Існують такі алгоритмічні конструкції:

1) лінійна (послідовність простих команд);

2) розгалужена (розгалужені алгоритми);

3) циклічна (циклічні алгоритми).

Якщо алгоритм складається лише з послідовності простих команд, то його називають лінійним.
Наприклад: Знайдіть значення виразу z = x-5y+10, де y = 3x+4
Блок-схема має вигляд:

Якщо в алгоритмі крім простих команд є ще і умовна команда, то такий алгоритм називають розгалуженим.
Умовну команду утворюють за допомогою деякої умови та трьох службових слів: якщо, то, інакше.
Алгоритм розгалуження має вигляд:

Умовна команда – це вказівка виконати одну з двох команд: команду 1 (серія 1), якщо умова справджується, або команду 2 (серія 2), якщо умова не справджується. Замість однієї команди може бути серія команд.
Приклад: Знайти корені квадратного рівняння a x2+bx+c=0, де a, b, c > 0.
Словесний спосіб опису алгоритму:
Алгоритм Розв’язки квадратного рівняння
1. Обчислити D=b2-4ac
2. Якщо D<0, то “рівняння розв’язку немає”
3. Якщо D>0, то

4. Якщо D=0, то x1=x2=b/2a

Блок-схема має вигляд:

Циклічні алгоритми забезпечують повторне виконання команд скінченну кількість разів.
Існує два види циклічних алгоритмів:
1) цикл “поки”;
2) цикл “для”.
1) Цикл “поки” має вигляд:
поки умова пц
серія команд
кц
Зазначені команди (чи одна команда) виконується поки справджується умова. Тут поки, пц, кц – службові слова.
Приклад: Скласти алгоритм наповнення водою 10-літрового відра, користуючись 3-літровою банкою.
Словесний спосіб опису алгоритму:
Алгоритм Наповнення
1. Наповнити банку водою.
2. Поки відро неповне, перелити воду з банки у відро, і наповнити банку водою.

Виконавець алгоритму виконає в циклі команди 4 рази. Відро наповниться, але при цьому 2л води розіл’ється на землю.

2) Цикл “для” має вигляд:
для і від А до В крок С пц
серія команд
кц
Приклад: Знайти значення функції y=x2 для х від -5 до 5 з кроком 0,5
Словесний спосіб опису алгоритму:
Алгоритм Значення
1. Для х від -5 до 5 з кроком 0,5 виконати y=x2.
2. Вивести значення відповідно х та у.
Блок-схема має вигляд:

Приклад:
Скласти блок-схему алгоритму знаходження максимального з трьох чисел а, в, с.
Блок-схема має вигляд: