Леонід Бронєвой народився 17 грудня 1928 року в Києві в єврейській сім'ї Соломона Йосиповича і Бели Львівни броньових. У дитинстві навчався грі на скрипці в десятирічній музичній школі при Київській консерваторії у відомого київського педагога, професора Давида Соломоновича Бертьє.

Батько майбутнього актора, Соломон Йосипович Бронєвой (справжнє прізвище - Факторовіч, 1905-після 1995) походив з сім'ї одеського кондитера, брав участь в Громадянській війні, в 1920-1923 роках працював в ОГПУ, після закінчення юридичного відділення робітфаку в Києві (де познайомився з майбутньою дружиною - студенткою економічного відділення) - в апараті Інституту народного господарства Української РСР, але в 1927 році був виключений з партії за звинуваченням у троцькізмі і звільнений з інституту. У 1928 році, незадовго до народження сина, Соломон Йосипович за клопотанням старшого брата (згодом начальника 2-го відділу економічного управління та відділу кадрів ГПУ УРСР, в 1936-1937 роках заступника наркома охорони здоров'я України Олександра Йосиповича Броньового, 1898-1940) потрапив до київського окружний економічний відділ ГПУ, потім був відряджений в Іваново, у 1933 році нагороджений орденом Червоної Зірки і в 1934 році в званні майора призначений начальником 6-го відділу НКВС УРСР. У 1935 році він був звільнений з органів держбезпеки і призначений начальником київського парку культури і відпочинку. 13 вересня 1936 заарештований і 9 березня 1937 засуджений до 5 років ув'язнення (після продовження терміну звільнений в 1946 році, з 1950 року на поселенні). Мати розлучилася з ним і змінила синові по батькові на «Сергійович», але це не допомогло - як «родину ворога народу» їх з сином відправили на заслання до міста Малмиж Кіровської області.